Дюрация (модифицированная или долларовая) предполагает описание выпуклой функции с помощью прямой линии (касательной). Возможно ли найти математическую формулу, обеспечивающую лучшую аппроксимацию изменений цены на облигацию при изменении требуемой доходности?

Первый член правой части равенства — это выражение, т. е. долларовое изменение цены, измеренное на основе долларовой дюрации. Таким образом, первый член в выражении — искомая аппроксимация абсолютных ценовых изменений на основе дюрации. В выражении первый член правой части равенства — аппроксимация процентных изменений цены на основе модифицированной дюрации.

Вторые члены выражений включают вторую производную функции цены. Это та самая вторая производная, которую мы используем в качестве поправки для учета влияния выпуклости зависимости цена — доходность. Вторую производную цены принято называть долларовой мерой выпуклости облигации.

Произведение долларовой меры выпуклости и квадрата изменения требуемой доходности является предполагаемым ценовым изменением, обусловленным выпуклостью. Таким образом, аппроксимированное изменение цены, обусловленное выпуклостью, равно:

dP — долларовая мера выпуклости х (dy)2.

Вторая производная, поделенная на цену, — это мера процентного изменения цены облигации, обусловленного выпуклостью; ее называют просто мерой выпуклости.

Приведенные значения второй производной, годовой долларовой меры выпуклости и годовой меры выпуклости для двух пятилетних купонных облигаций. Мера выпуклости выражена в квадратах периодов. Для перевода меры выпуклости в годы следует поделить выражения на 4 (т.е. 22). Таким образом, если денежный поток поступает т раз в году, выпуклость выражается в годах следующим образом: